*** Faisabilité d'un projet routier

Soit \(f\)  la fonction définie sur \([0 \ ;\ 8]\)  par \(f(x)=\displaystyle\frac{0,7}{1+\text{e}^{-x+2}}+0,3\) .

1. Étudier les variations de la fonction \(f\)  sur  \([0 \ ;\ 8]\) .

2. a. Montrer que, pour tour réel \(x \in [0 \ ; \ 8], \ f''(x)=\displaystyle\frac{0,7\text{e}^{-x+2}\left(\text{e}^{-x+2}-1\right)}{\left(\text{e}^{-x+2}+1\right)^3}\) .
    b. Étudier la convexité de \(f\)  sur  \([0 \ ;\ 8]\) .

3. Dans une région montagneuse, une entreprise étudie un projet de route reliant les villages A et B situés à deux altitudes différentes.
La fonction \(f\)  définie ci-dessous modélise l e profil de la route.
La variable  \(x\) représente la distance horizontale, en kilomètres, depuis le village A et
\(f(x)\)  représente l’altitude associée, en kilomètres.
La représentation graphique  \(\mathscr{C}_f\) de la fonction  \(f\) est donnée ci-dessous.

    a. Déterminer l'écart d'altitude entre les villages A et B , arr ondi au mètre.
    b. Dans cette question, le coefficient directeur de la tangente à \(\mathscr{C}_f\)  en un point M est appelé « pente en M ». On précise aussi qu’une pente en M de 5 % correspond à un coefficient directeur de la tangente à la courbe de  \(f\) en M égal à 0,05. Il est décidé que le projet sera accepté à condition qu’en aucun point de \(\mathscr{C}_f\)   la pente ne dépasse 18 %. Déterminer si le projet sera accepté ou refusé.